Emiya 家的饭

题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种烹饪方法，且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1 \sim n$ 编号，对主要食材从 $1 \sim m$ 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜 $(1\le i\le n, 1\le j\le m)$，这也意味着 Emiya 总共会做

$$\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m a_{i,j}$$

道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：

1. Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $k \ge 1$
2. Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
3. Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac k2 \rfloor$ 道菜）中被使用

（这里的 $\lfloor x\rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数）

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998,244,353$ 取模的结果。

输入格式

从文件 meal.in 中读入数据。

第 1 行两个用单个空格隔开的整数 $n, m$。

第 2 行至第 $n + 1$ 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i,m}$。

输出格式

输出到文件 meal.out 中。

仅一行一个整数，表示所求方案数对 $998,244,353$ 取模的结果。

样例 1

输入

2 3
1 0 1
0 1 1

输出

3

样例解释：
由于在这个样例中，对于每组 $i, j$，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括：

• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
• 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜

因此输出结果为 $3 \bmod 998,244,353 = 3$。需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。

样例 2

输入

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

输出

190

样例解释：
Emiya 必须至少做 2 道菜。

• 做 2 道菜的符合要求的方案数为 100
• 做 3 道菜的符合要求的方案数为 90

因此符合要求的方案数为 $100 + 90 = 190$。

样例 3

输入

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

输出

742

（详见附加文件 meal4.in/ans、meal5.in/ans）

数据范围与提示

测试点编号	$n=$	$m=$	$a_{i,j}<$
1	2
2	3
3	5	2
4	3
5	10	2
6	3
7	10	2	1000
8	3
9~12	40	2
13~16	3
17~21	500
22~25	100	2000	998,244,353

对于所有测试点，保证 $1 \le n \le 100$，$1 \le m \le 2000$，$0 \le a_{i,j} < 998,244,353$。