「联合省选 2024」迷宫守卫

题目描述

Alice 拥有一座迷宫，这座迷宫可以抽象成一棵拥有 $2^n$ 个叶节点的满二叉树，总节点数目为 $(2^{n+1} − 1)$，依次编号为 $1 \sim (2^{n+1} − 1)$。其中编号为 $2^n \sim (2^{n+1} − 1)$ 的是叶节点，编号为 $1 \sim (2^n − 1)$ 的是非叶节点，且非叶节点 $1 \le u \le (2^n − 1)$ 的左儿子编号为 $2u$，右儿子编号为 $(2u + 1)$。

每个非叶节点都有一个石像守卫，初始时，所有石像守卫均在沉睡。唤醒 $u$ 点的石像守卫需要 $w_u$ 的魔力值。

每个叶节点都有一个符文，$v$ 点的符文记作 $q_v$。保证 $q_{2^n}, q_{2^n+1},\cdots, q_{2^{n+1}−1}$ 构成 $1 \sim 2^n$ 的排列。

探险者初始时持有空序列 $Q$，从节点 $1$ 出发，按照如下规则行动：

• 到达叶节点 $v$ 时，将 $v$ 点的符文 $q_v$ 添加到序列 $Q$ 的末尾，然后返回父节点。
• 到达非叶节点 $u$ 时：
  • 若该点的石像守卫已被唤醒，则只能先前往左儿子，（从左儿子返回后）再前往右儿子，（从右儿子返回后）最后返回父节点。
  • 若该点的石像守卫在沉睡，可以在以下二者中任选其一：
    • 先前往左儿子，再前往右儿子，最后返回父节点。
    • 先前往右儿子，再前往左儿子，最后返回父节点。

返回节点 $1$ 时，探险结束。可以证明，探险者一定访问每个叶节点各一次，故此时 $Q$ 的长度为 $2^n$。

探险者 Bob 准备进入迷宫，他希望探险结束时的 $Q$ 的字典序越小越好，与之相对，Alice 希望 $Q$ 的字典序越大越好。

在 Bob 出发之前，Alice 可以选择一些魔力值花费之和不超过 $K$ 的石像守卫，并唤醒它们。Bob 出发时，他能够知道 Alice 唤醒了哪些神像。若双方都采取最优策略，求序列 $Q$ 的最终取值。

对于两个长度为 $2^n$ 的序列 $Q_1,Q_2$，称 $Q_1$ 字典序小于 $Q_2$ 当且仅当以下条件成立：

• $\exists i \in [1, 2^n]$ 满足以下两个条件：
  • $\forall 1 \le j < i$，$Q_{1,j} = Q_{2,j}$；
  • $Q_{1,i} < Q_{2,i}$。

输入格式

从文件 maze.in 中读入数据。

本题有多组测试数据。输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示测试数据组数。

接下来依次 $T$ 组测试数据。对于每组测试数据：

• 第一行两个整数 $n,K$ 表示迷宫规模和 Alice 可用于唤醒石像守卫的魔力值上限。
• 第二行 $(2^n − 1)$ 个整数 $w_1,w_2,\cdots,w_{2^n−1}$ 表示唤醒各个石像守卫耗费的魔力值。
• 第三行 $2^n$ 个整数 $q_{2^n}, q_{2^n+1},\cdots, q_{2^{n+1}−1}$ 表示各个叶节点上的符文。

输出格式

输出到文件 maze.out 中。

对于每组数据，输出一行 $2^n$ 个整数 $Q_1,Q_2,\cdots,Q_{2^n}$，表示双方都采取最优策略的情况下，序列 $Q$ 的最终取值。

样例 1

输入

3
1 0
1
2 1
1 1
1
2 1
3 3
3 2 1 2 1 2 1
4 2 6 3 7 1 5 8

输出

1 2
2 1
2 4 6 3 5 8 7 1

说明

• 第一组数据中，Alice 无法唤醒石像守卫，Bob 可以选择先访问叶节点 3，再访问叶节点 2，得 $Q = \{1, 2\}$。
• 第二组数据中，Alice 可以唤醒节点 1 的石像守卫，Bob 只能先访问左儿子，再访问右儿子，得 $Q = \{2, 1\}$。
• 第三组数据中，Alice 的最优策略是唤醒节点 5, 6 的石像守卫。

样例 2

该组数据满足特殊性质 A。

样例 3

该组数据满足特殊性质 B。

数据范围与提示

设 $\sum 2^n$ 表示单个测试点钟所有测试数据的 $2^n$ 的和。对于所有测试数据，保证

• $1\le T \le 100$；
• $1\le n \le 16$，$1 \le \sum 2^n \le 10^5$；
• $0\le K \le 10^{12}$；
• $\forall 1 \le u \le (2^n-1)$，$0 \le w_u \le 10^{12}$；
• $q_{2^n},q_{2^n+1},\cdots,q_{2^{n+1}-1}$ 构成 $1\sim 2^n$ 的排列。

测试点编号	$n\le$	$\sum 2^n \le$	特殊性质
1$\sim$5	4	80	无
6		200	A
7$\sim$8			B
9$\sim$10			无
11		4000	A
12$\sim$13			B
14$\sim$15			无
16		$10^5$	A
17$\sim$18			B
19$\sim$20			无

特殊性质说明：

• 特殊性质 A：$\forall 2^n \le v \le (2^{n+1}-1)$，$q_v = (2^{n+1}-v)$。
• 特殊性质 B：$\forall 1 \le u \le (2^n-1)$，$w_u = 1$。