我们按位独立解决该问题，最后将每一位的结果相乘。

显然，如果某个位置被一个值为 $1$ 的区间覆盖，则该位置必须为 $1$，没有选择余地。
对于值为 $0$ 的区间，必须存在至少一个被它覆盖的位置，其值为 $0$。

因此我们可以设计如下动态规划：
设 $dp_i$ 表示满足以下条件的数组个数：最后一个 $0$ 恰好出现在位置 $i$，且所有位于 $i$ 左侧的 $0$ 区间都至少包含一个 $0$。

我们需要确定可以从哪些状态 $j$ 转移到 $i$。
唯一的限制是：不能存在一个值为 $0$ 的区间 $(l, r)$，使得 $j < l$ 且 $r < i$。
因为如果存在这样的区间，它就不会包含任何 $0$ 值，违反条件。

对于每个位置 $i$，我们可以预先计算出 $f_i$，表示所有右端点小于 $i$ 的 $0$ 区间的左端点的最右位置。
换句话说，$f_i$ 是满足：存在一个 $0$ 区间 $(l, r)$ 且 $r < i$ 的所有 $l$ 中的最大值。
那么转移时，$dp_i$ 只能从 $j \ge f_i$ 的状态累加。

于是转移方程为：

边界条件可以设置一个虚拟位置 $0$ 表示“尚未出现 $0$”，相应的 $dp_0 = 1$，并据此计算前缀和。

利用前缀和，可以在 $O(n)$ 时间内完成 DP 计算，最后答案为所有 $dp_i$ 的和，对应最后一个 $0$ 出现在任意位置的情况。

将每一位的答案相乘，即得到原问题的最终答案。