我们一步步来分析这个问题。

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题意理解

我们有：

• 一个整数 $x$（总难度）
• 一个整数 $n$（子题数量）

要求：

• 找到 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使得
  $a_1 + a_2 + \dots + a_n = x$。
• 定义平衡度 = $\gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)$。
• 我们要 最大化 这个平衡度。

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关键观察

设最大可能的平衡度为 $g$。

那么：

• $g$ 必须能整除每个 $a_i$，因此 $a_i = g \cdot b_i$，其中 $b_i$ 是正整数。
• 于是：$$x = g \cdot (b_1 + b_2 + \dots + b_n)$$ 即 $x = g \cdot S$，其中 $S = \sum_{i=1}^n b_i \ge n$。

因此：

• $g$ 必须是 $x$ 的一个正因数。
• 并且 $x/g \ge n$（因为 $S \ge n$）。

反过来：

• 若 $g$ 是 $x$ 的因数，且 $x/g \ge n$，那么我们可以取 $b_1 = x/g - (n-1)$，$b_2 = b_3 = \dots = b_n = 1$，那么：
  • $b_i$ 都是正整数（因为 $x/g \ge n$ 保证了 $b_1 \ge 1$）。
  • $a_i = g \cdot b_i$ 满足和为 $x$，且 $\gcd(a_1, \dots, a_n) = g$（因为至少有一个 $a_i = g \cdot 1$ 和其他都是 $g$ 的倍数，且 $g$ 是最大公因数）。

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结论

最大平衡度就是：

$$\max \{ g \mid g \text{ 是 } x \text{ 的因数，且 } x/g \ge n \} $$

等价于：

$$\max \{ g \mid g \text{ 是 } x \text{ 的因数，且 } g \le x/n \} $$

即：在 $x$ 的所有因数中，不超过 $x/n$ 的最大因数。

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算法

对于每个测试用例：

1. 枚举 $x$ 的所有因数 $d$。
2. 检查 $d \le x/n$，维护最大值。
3. 因为 $x \le 10^8$，枚举因数复杂度 $O(\sqrt{x})$，$t \le 1000$ 时总操作数约 $10^3 \times 10^4 = 10^7$，可行。

也可以直接枚举 $k = x/g$（即 $b_i$ 的和），那么 $g = x/k$，要求 $k \ge n$ 且 $k$ 整除 $x$，此时 $g = x/k$ 为整数。我们取所有这样的 $g$ 的最大值。

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代码实现（C++ 标程风格）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int x, n;
        cin >> x >> n;
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i * i <= x; i++) {
            if (x % i == 0) {
                // i 是因数
                if (i <= x / n) ans = max(ans, i);
                // 对应的另一个因数
                int j = x / i;
                if (j <= x / n) ans = max(ans, j);
            }
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}

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验证样例

1. $x=10, n=3$
   $x/n \approx 3.33$
   因数有 $1,2,5,10$，不超过 $3.33$ 的最大因数是 $2$。输出 $2$。

2. $x=5, n=5$
   $x/n = 1$
   因数有 $1,5$，不超过 $1$ 的最大因数是 $1$。输出 $1$。

3. $x=420, n=69$
   $x/n \approx 6.086$
   因数不超过 $6$ 的最大因数是 $6$。输出 $6$。

匹配样例。

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复杂度

每个测试用例 $O(\sqrt{x})$，总复杂度 $O(t \sqrt{x}_{\max})$，可通过。