B. 烟花 详细题解

题目核心理解

两台烟花装置同时启动：

• 第一台每隔 $a$ 分钟发射一发，发射时刻为 $a,2a,3a,\dots$
• 第二台每隔 $b$ 分钟发射一发，发射时刻为 $b,2b,3b,\dots$

每发烟花发射后会持续可见 $m+1$ 分钟，即某发在时刻 $x$ 发射，则在 $[x,\,x+m]$ 分钟内均可见。

求：同一时刻天空中最多能同时看到多少发烟花。

---

核心思路

1. 关键构造时刻

取 $T = \operatorname{LCM}(a,b)$，即 $a,b$ 的最小公倍数。 由最小公倍数性质：

• $T>0$
• $T$ 同时被 $a$ 和 $b$ 整除

因此在时刻 $T$，两台装置会同时各发射一发烟花，且每发都会持续到 $T+m$ 时刻才消失。

2. 统计可见烟花数量

观察时刻 $T+m$ 的天空：

• 仍能看到时刻 $T$ 发射的两发烟花
• 第一台在 $[T,\,T+m]$ 内额外发射了 $\left\lfloor\dfrac{m}{a}\right\rfloor$ 发
• 第二台在 $[T,\,T+m]$ 内额外发射了 $\left\lfloor\dfrac{m}{b}\right\rfloor$ 发

合计数量即为：

$$\left\lfloor\frac{m}{a}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{b}\right\rfloor + 2 $$

3. 证明这就是最大值

单独看任意一台装置（以间隔 $a$ 为例）：

• 设最早消失的一发在时刻 $x$ 消失
• 时刻 $x$ 可见的烟花发射时刻为：$$x,\ x+a,\ \dots,\ x+a\cdot\left\lfloor\frac{m}{a}\right\rfloor $$
• 单台装置最多同时可见 $\left\lfloor\dfrac{m}{a}\right\rfloor+1$ 发

两台装置叠加，总数上界为：

$$\left(\left\lfloor\frac{m}{a}\right\rfloor+1\right) + \left(\left\lfloor\frac{m}{b}\right\rfloor+1\right) = \left\lfloor\frac{m}{a}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{b}\right\rfloor + 2 $$

因此上界可以取到，即为答案。

---

算法流程

1. 对每组输入 $a,b,m$
2. 计算 $\left\lfloor\dfrac{m}{a}\right\rfloor$ 和 $\left\lfloor\dfrac{m}{b}\right\rfloor$
3. 直接求和后加 $2$ 输出

---

公式与复杂度分析

最终答案公式：

$$ans = \left\lfloor\frac{m}{a}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{b}\right\rfloor + 2 $$

复杂度

每组测试用例仅做整数除法与加法。 时间复杂度：$O(1)$。 可轻松处理 $a,b,m \le 10^{18}$、测试用例数 $t \le 10^4$ 的数据范围。