题目详细题解

题意理解

题目要求判断一个整数 $a$ 是否可能是由 $10^x$（$x \ge 2$）漏掉乘方符号 ^ 后写成的数字。

例如：

• $10^5 = 100000$，漏掉 ^ 后写成 $105$（不是 $100000$，而是把指数 $5$ 直接拼接在 $10$ 后面）
• $10^{19}$ 漏掉 ^ 后写成 $1019$

关键点：原始重要整数是 $10^x$，写错后的形式是：先写 $10$，然后紧接着写 $x$ 这个数字（不写乘方符号）。

数字形式分析

设写错后的数字为 $a$，那么 $a$ 必须满足：

1. 以 "10" 开头 —— 因为原始数字是 $10$ 后面直接拼接指数 $x$
2. "10" 后面跟着的是指数 $x$ 的十进制表示

因此 $a$ 的形式必须是：字符 '1' 后跟字符 '0'，再跟一个整数 $x$（$x \ge 2$）的十进制数字串。

分情况讨论

情况1：$a$ 的总长度为 $3$

此时 $a = 10x$，其中 $x$ 是一位数字（$0$ 到 $9$）。
由于 $x \ge 2$，所以 $x$ 可以取 $2,3,\dots,9$。
对应的 $a$ 取值范围：$102 \le a \le 109$。

情况2：$a$ 的总长度 $\ge 4$

此时 $x$ 至少是两位数（$x \ge 10$）。
$a$ 的形式为：$10$ 后面跟着 $x$ 的十进制表示。

• 最小的 $x$ 是 $10$，此时 $a = 1010$
• 题目给定 $a \le 10000$，所以 $a$ 最大为 $10000$
• $x$ 最大可以是多少？$a$ 最多 $4$ 位或 $5$ 位？
  实际上 $a \le 10000$，所以 $a$ 可能是 $4$ 位或 $5$ 位：
  • 若 $a$ 是 $4$ 位：$10xy$，$x$ 是两位数，$a$ 范围 $1010$ 到 $1099$
  • 若 $a$ 是 $5$ 位：$10xyz$，$x$ 是三位数，最小 $100$，此时 $a = 10100$，但 $10100 > 10000$，超出范围

因此对于 $a \le 10000$，只有 $1010 \le a \le 1099$ 符合条件。

最终判断条件

综合以上两种情况，一个整数 $a$ 是合法的当且仅当：

$$102 \le a \le 109 \quad \text{或} \quad 1010 \le a \le 1099 $$

代码解析

for _ in range(int(input())):
    a = int(input())
    if 102 <= a <= 109 or 1010 <= a <= 1099:
        print("YES")
    else:
        print("NO")

示例验证

输入：

7
100
1010
101
105
2033
1019
1002

输出：

• $100$：不以 "10" 开头？实际以 "10" 开头，但长度为 $3$ 时第三位是 $0$，不满足 $x \ge 2$ → NO
• $1010$：属于 $1010 \le a \le 1099$ → YES
• $101$：长度 $3$，第三位是 $1$，不满足 $x \ge 2$ → NO
• $105$：长度 $3$，第三位是 $5 \ge 2$ → YES
• $2033$：不以 "10" 开头 → NO
• $1019$：属于 $1010 \le a \le 1099$ → YES
• $1002$：以 "10" 开头，但长度为 $4$，第三位是 $0$，$x = 02$ 有前导零，不合法 → NO

与题目示例输出一致。