题目理解

两个人 Alice 和 Bob 轮流操作，Alice 先手。
初始：Alice 有 $a$ 个硬币，Bob 有 $b$ 个硬币。

每回合操作顺序：

1. 可以选择 交换钱包（即当前玩家与对手互换钱包），或者 不交换。
2. 从 自己当前持有的钱包 中取出 $1$ 个硬币（取之前该钱包必须有至少 $1$ 个硬币）。

如果某回合无法执行第 2 步（即自己当前钱包为 $0$ 且不能交换到非零钱包？ 等等，但交换是在第 1 步自由选择的，所以真的会无法操作吗？）
关键是：交换后如果自己新持有的钱包为 $0$，则依然无法取硬币，所以这回合就输了。
因此，必须保证 第 2 步操作前当前钱包非零。

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关键观察

交换的作用是：

• 当前玩家可以选择 从自己原本的钱包取 1，或者 从对手原本的钱包取 1（通过先交换，然后从交换后自己持有的钱包取 1）。

所以无论选择哪种，每一回合都会从某个钱包中减少 1 个硬币，且总硬币数 $a+b$ 减少 1。

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终止条件

游戏什么时候结束？
当某玩家在回合开始时，两个钱包都为空，他就输了。
为什么？因为第 1 步交换与否都不重要，交换后自己钱包还是 0，第 2 步无法取硬币。
所以 游戏结束当且仅当 $a = 0$ 且 $b = 0$。

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赢家判定

设当前总硬币数为 $S = a + b$。
每一回合 $S$ 减少 1，所以 $S$ 从初始值一直降到 $0$。
总回合数 = $S$。

因为 Alice 先手，所以：

• 如果 $S$ 是奇数，则最后一个操作（第 $S$ 回合）由 Alice 执行。
  第 $S$ 回合开始时，$S = 1$（只剩 1 个硬币），她取走这最后一个硬币后，$S = 0$，轮到 Bob 行动时无法操作，Bob 输，Alice 赢。
• 如果 $S$ 是偶数，则最后一个操作由 Bob 执行，Bob 取走最后一个硬币后，$S = 0$，轮到 Alice 行动时无法操作，Alice 输，Bob 赢。

因此：

• 若 $a + b$ 为奇数 → Alice 赢
• 若 $a + b$ 为偶数 → Bob 赢

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验证样例

我们拿样例验证：

• $1,1$：$a+b=2$ 偶数 → Bob ✅
• $1,4$：$a+b=5$ 奇数 → Alice ✅
• $5,3$：$a+b=8$ 偶数 → Bob ✅
• $4,5$：$a+b=9$ 奇数 → Alice ✅
• $11,9$：$a+b=20$ 偶数 → Bob ✅

完全符合输出。

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最终题解公式

胜者判定：

$$\text{winner} = \begin{cases} \text{Alice} & \text{if } (a + b) \bmod 2 = 1 \\ \text{Bob} & \text{if } (a + b) \bmod 2 = 0 \end{cases} $$

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C++ 代码实现（与标程一致）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int t; cin >> t;
    while (t--) {
        int a, b; cin >> a >> b;
        if ((a + b) % 2 == 0) {
            cout << "Bob\n";
        } else {
            cout << "Alice\n";
        }
    }
}

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复杂度分析

每个测试用例 $O(1)$，总复杂度 $O(t)$，完美满足 $t \le 1000$。